LA LÓGICA Y TABLA DE LA VERDAD

Lógica 

Es una ciencia que se basa en las leyes, modalidades y formas del conocimiento científico se conoce bajo el nombre de lógica. Se trata de una ciencia de carácter formal que carece de contenido ya que hace foco en el estudio de las alternativas válidas de inferencia. Es decir, propone estudiar los métodos y los principios adecuados para identificar al razonamiento correcto frente al que no lo es.

La etimología permite saber que el término ‘lógica’ tiene su origen en el vocablo latín logĭca, que a su vez deriva del griego logikós(de logos, “razón” o “estudio”).

Proposiciones:

Una proposición lógica es cualquier expresión que puede ser verdadera o falsa, pero no las dos al mismo tiempo. Algunos ejemplos de proposiciones son:

• El año empieza con el mes de enero.
• Cuando esta soleado se siente calor.
• En invierno no es agradable sentir el frió.
• 1 + 1 = 2
• Marte esta lleno de marcianitos
• 5 * 9 = 59

Las primeras cuatro proposiciones son verdaderas y se dice que su valor es V, mientras que las últimas dos son falsas y su valor es F. Dentro de las proposiciones verdaderas, la última (1+1=2) no representa ninguna palabra o frase, sin embargo es una expresión matemática y se sabe que es cierta, y lo mismo pasa con la proposición (5*9=59) cuyo valor lógico se sabe es falso. No es necesario que una proposición sea una expresión verbal, simplemente necesitamos poder determinar el valor de verdadero o falso.

Por otro lado, expresiones que no cumplen esta propiedad no son proposiciones lógicas, por ejemplo:

• El próximo viernes caerá un meteorito en mi casa.
• Ven a verme.
• ¡Viva la libertad!
• ¿Está lloviendo?
• Él está triste.

Cuantificadores:

Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad. 

Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:

P(x) = x es menor que dos

Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

Tabla de verdad:

Las tablas de verdad es una estrategia de la lógica simple que permite establecer la validez de varias propuestas en cuanto a cualquier situación, es decir, determina las condiciones necesarias para que sea verdadero un enunciado propuesto, permitiendo clasificarlos en tautológicos (resultan verdaderos durante cualquier situación) contradictorias (son enunciados falsos en la mayoría de los casos) o contingentes (enunciados que no pueden será tantos verdaderos como falsos no existen tendencia a un solo sentido).

Permite diferentes aspectos del enunciado como las condiciones que lo hacen verdadero y cuáles son sus conclusiones lógicas, es decir, si el enunciado propuesto es verdadero o falso. Esta tabla fue ideada por Charles Sander Peirce aproximadamente en 1880, pero la más utilizada es el modelo actualizado de Luidwin Wittgenstein en 1921.

La construcción de la tabla está fundamentada en la utilización de un letra para las variables del resultado y las mismas se cumplen se dicen que son verdaderas, en el caso contrario de que no se cumpla se les asigna el apelativo de falsas, por ejemplo: Enunciado: “Si nos mudamos, mi perro se muere”. Variables: A: Si se muda- B: el perro se muere.

Si se dice que es verdadero a ambas variables se les asigna la letra (V) y representa la positividad del enunciado, si algunas de las variables no se cumple se les asigna la letra (F) esto no representa la falsedad del enunciado ya que con cumplirse una sola variable se puede designar como verdadero, eso dependerá del enunciado. Cuando ambos valores resultan verdaderos en todas las ocasiones se dice que existe una conjugación en el enunciado, en cambio sí se obtiene dos resultados verdaderos y luego uno verdadero y el otro falso se dice que existe una disyunción.

Proposicion condicional:

Las Proposiciones Condicionales expresan la condición necesaria para que tenga efecto lo que indica la oración principal; ésta indica la causa o efecto de tal condición,

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES:

1.Me alegraría mucho, si me acompañaras.

2.Si quieres, paso por ti a las seis.

3.Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.

4.Si pones atención, aprenderás más pronto.

5.Podría llevar dos materias, si asisto por las tardes.

Observe cada caso y constata que la proposición indica una condición para que se lleve a cabo lo aseverado en la oración principal:

CONDICION

1. si me acompañaras

2. si quieres

3. si me prometes ser puntual

4. si pones atención

5. si asisto por las tardes

ASEVERACIÓN

1. me alegraría mucho

2. paso por ti a las seis

3. te llevaré al baile

4. aprenderás más pronto

5. podría llevar dos materias

Las proposiciones condicionales funcionan sin tácticamente como modificadores circunstanciales del núcleo del verbo de la oración principal.

La conjunción si, que funciona como subordinante es el encabezado que aceptan las oraciones subordinadas condicionales, en la mayoría de los casos. Los sintagmas conjuntivos; siempre que, con tal que, etc., también funcionan como encahezadores de este tipo de proposiciones.

Fuentes originales:

https://sites.google.com/a/upao.edu.pe/logica-proposicional-sistemas/logica-proposicional/proposiciones-logicas

https://definicion.de/logica/

https://logicamatematicaucm.wikispaces.com/CUANTIFICADORES

http://conceptodefinicion.de/tablas-de-verdad/

http://www.ejemplode.com/12-clases_de_espanol/452-ejemplo_de_proposiciones_condicionales.html

TEORÍA DE CONJUNTO

Teoría de Conjuntos

Se entiende como un contenido del área de matemáticas pero sus utilidades van mucho más allá del desarrollo del pensamiento lógico matemático. Comprender la teoría de conjuntos nos permite utilizar los conjuntos como herramienta para analizar, clasificar y ordenar los conocimientos adquiridos desarrollando la compleja red conceptual en que almacenamos nuestro aprendizaje.

Así existen cuatro formas de las cuales podemos definir los conjuntos:

1. Extensión o enumeración: sus elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Cada conjunto describe un listado de todos sus elementos.
2. Comprensión: sus elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.
3. Diagramas de Venn: regiones cerradas que nos permiten visualizar las relaciones entre los conjuntos.
4. Descripción verbal: se trata de un enunciado que describe una característica común a todos los elementos del conjunto.

Así, esta teoría se puede trabajar con cualquier contenido que queramos desarrollar en primaria (o en cualquier otra etapa educativa).

Ejemplo:

Exprese de las cuatro formas posibles “el conjunto de los animales vertebrados”:

Por extensión: A={mamíferos, reptiles, aves, anfibios, peces}

Por comprensión: A = {x /x es un animal vertebrado}

Por diagrama de Venn:

Por descripción verbal: A contiene a todos los animales que tienen esqueleto interno.

Fuente original: https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/la-teoria-de-conjuntos-como-tecnica-de-estudio/

HISTORIA DE LA MATEMATICA

Historia de la Matemática 

Las matemáticas son la ciencia de los números y los cálculos. Desde la antigüedad, el hombre utiliza las matemáticas para hacer la vida más fácil y organizar la sociedad. La matemática fue utilizada por los egipcios en la construcción de las pirámides, presas, canales de riego y estudios de astronomía. Los antiguos griegos también desarrollaron varios conceptos matemáticos. Actualmente, esta ciencia está presente en diversas áreas de la sociedad, tales como arquitectura, informática, medicina, física, química, contabilidad, entre otros. Podemos decir que en todo lo que observamos existe la matemática. 

Cronología de las matemáticas 

• A continuación, una pequeña historia de la evolución histórica de las matemáticas. 

• 4000 a.C. – En Mesopotamia, los sumerios desarrollaron uno de los primeros sistemas numéricos, compuestos por 60 símbolos. 
• 520 A.C. – El matemático griego Eudoxo de Cnido define y explica los números irracionales. 
• 300 A.C. – Euclides desarrolla teoremas y sintetiza diversos conocimientos sobre geometría. Es el comienzo de la geometría euclidiana. 
• 250 – Diofanto estudia y desarrolla varios conceptos de álgebra. 
• 500 – Surge en la India un símbolo para especificar el número cero. 
• 1202 – En Italia, el matemático Leonardo Fibonacci comienza utilizando los algoritmos árabes. 
• 1551 – Aparece el estudio de la trigonometría, facilitando en el renacimiento científico el estudio de las estrellas. 
• 1591 – Franciscus Vieta inicia representación de ecuaciones matemáticas, usando letras del alfabeto. 1614 – El escocés John Napier publica la primera tabla de algoritmos. 
• 1637 – El matemático y filósofo franceses René Descartes desarrolla una nueva disciplina matemática: la geometría analítica, con la combinación de álgebra y geometría. 
• 1654 – Los matemáticos franceses Pierre de Fermat y Blaise Pascal desarrollan estudios sobre el cálculo de la probabilidad. 

• 1669 – El físico inglés y matemático Sir Isaac Newton desarrolla el cálculo diferencial e integral. 1685 – El inglés John Wallis crea números imaginarios. 
• 1744 – El suizo Leonard Euler desarrolla estudios sobre los números transcendentales. 
• 1822 – Creación de la Geometría proyectiva es desarrollada por el francés Jean Victor Poncelet. 
• 1824 – El noruego Niels Henrik Abel llega a la conclusión de que es imposible resolver las ecuaciones de quinto grado. 
• 1826 – El matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevsky desarrolló la geometría noeuclidiana. 1931 – Kurt Gödel, matemático alemán, demuestra que hay teoremas que no pueden ser probados ni negados en sistemas matemáticos. 

• 1977 – El matemático americano Robert Shaw Stetson hace estudios y desarrolla el conocimiento acerca de la teoría del caos. 
• 1993 – El matemático inglés Andrew Wiles demuestra a través de estudios e investigaciones el último teorema de Fermat.   

Principales áreas de las matemáticas

• Aritmética 
• Álgebra 
• Geometría 
• Geometría analítica 
• Porcentaje 
• Trigonometría 
• Estadísticas 
• Educación matemática

Fuente original: Escuelapedia.com