EXPRESIONES ALGEBRAICAS, NOTACION MATEMATICA Y TRUCOS MATEMATICOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las denominadas “expresiones algebraicas” nacen a partir de la necesidad de traducir en números valores desconocidos y por ello son representados con letras.

La rama de las matemáticas encargada de estudiar estas expresiones en las que aparecen tanto números como letras, así como signos de operaciones matemáticas, es el Álgebra.

Estas letras de valor indeterminado, denominadas variables o incógnitas, son tratadas como números y por tanto se les aplica las mismas leyes y propiedades que a éstos.

• Tipos de expresiones algebraicas:

– Monomios:

Están formados por el producto de un número conocido, o coeficiente, y por una o más letras, que forman la parte literal.

Ejemplo: 3x ²

– Polinomios:

Están formados por la relación de sumas, restas y/o productos de un conjunto no infinito de variables desconocidas y constantes, pudiendo incluir exponentes enteros positivos.

Ejemplo: 3x³ – 2x + 5

NOTACIÓN MATEMÁTICA

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación, una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

• Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: ${\displaystyle \scriptstyle a,\,b,\,i,\,k,\,x,\,y}$, etc.
• Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: ${\displaystyle \scriptstyle \cos \alpha ,\,\exp x}$, etc.; en lugar de ${\displaystyle \scriptstyle \ln x}$ no debe escribirse ${\displaystyle \scriptstyle lnx}$, porque eso representaría el producto ${\displaystyle \scriptstyle l\cdot n\cdot x}$ en lugar del logaritmo neperiano.
• Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (${\displaystyle \scriptstyle {\text{e}},\,{\text{i}}}$), también se escriben con letra redonda: ${\displaystyle \scriptstyle a{\text{e}}^{x}}$.

Los símbolos matemáticos no son abreviaciones, sino entidades escritas con valor completo y autónomo.2 No quedan por tanto sujetos a normativas de carácter lingüístico o gramatical, sino que siguen su propia lógica del lenguaje formal matemático para combinarse en expresiones y fórmulas según ciertas reglas establecidas, ya sea por tradición, ya sea por convenios internacionales, nacionales, locales o personales.

TRUCOS MATEMÁTICOS

#1 Multiplicar números grandes en la mente: Esto es más sencillo de lo que imaginas, y consiste ensimplemente redondear las cifras y aproximarlas a la decena, centena o millar que esté más cerca.

En este caso, aproximas el 97 y el 96 al cien, sumas la diferencia de estos números y la restas, ese será el primer par del resultado, a continuación multiplicas la diferencia inicial y le agregas ese porcentaje al resultado. Veras que con un poco de práctica esto se hará mucho más sencillo. Mira el ejemplo a continuación y entenderás. 

#2 Recordar el valor de Pi: ¿3,1415? ¿Qué seguía? Si eres como nosotros y tampoco lo recuerdas, creemos que es más fácil aprenderte esta oración: Sol y luna y cielo proclaman al Divino autor del Cosmo.

Así matas dos pájaros de un tiro, rezas una oración alabando a Dios y te aprendes los dígitos del valor de Pi ¿cómo así? Cada una de las palabras tiene una cantidad de letras, la suma de esas son lo mismo que el valor de pi.  

#3 Multiplicar por 11: No, no era necesario que te aprendas la tabla del once. Mira este ejemplo y entenderás porqué lo decimos. Para multiplicar por once solo debes separar los números que conforman el multiplicando y poner en medio la suma de ambos. ¿Sencillo? 

#4 Cómo sacar porcentajes: Una imagen vale más que mil palabras, y más si ahí está escrito todo. Solo debes eliminar los últimos dígitos del multiplicando y el multiplicador y multiplicarlos. 

#5 La tabla del 6,7 y  8 con los dedos de la mano: Simple  y sencillo, solo necesitas tus manos. Mira el ejemplo en las imágenes para entender cómo aplicar este truco. 

#6 La tabla más sencilla, la del 9: Por lo general suele ser una de las más complicadas, pero eso es porque no la conoces bien. Para multiplicar por 9 solo necesitas tus manos. Por ejemplo 5x9. Debes asignarle ordenadamente a cada uno de tus dedos un número, en este caso nos dirigimos al que simboliza el cinco y lo doblamos, desde ese dedo en adelante serán las decenas, y desde ese dedo hacia atrás estarán las unidades. Entonces si hemos doblado el cinco, hacia adelante habrán 4 decenas y hacia atrás 5 unidades. 5x9= 40 decenas + 5 unidades, es decir 45.

Además, si quieres conocer sus múltiplos solo debes adecuar una tabla como esta: ¿Sencillo no? 

#7 La Mariposa para sumar y restar fracciones: Este truco es tan sencillo como volar para una mariposa, lo que debes hacer es dibujar una sobre las fracciones y multiplicar de forma diagonal, los resultados serán sumados y multiplicados como en el ejemplo:

#8 ¿A quién se come el cocodrilo?: Sencillo, el cocodrilo es inteligente y siempre se comerá el platillo más grande, o el número más grande. Aplica esta técnica con tus hijos y nunca más sufrirán por esto.

#9 ¿Cómo convertir de grados Celsisus a Fahrenheit?: Tal vez no tengas idea cómo hacer esto, pero no te preocupes, es supesencillo. Solo debes hacer una simple multiplicación y una suma. Para convertir de Celsius a Fahrenheit debes multiplicar los grados Celsius por 1.8 y sumarle 32.

ENLACES:

 http://www.texnia.com/archive/ortomatem.pdf

https://es.scribd.com/doc/35444591/Notacion-matematica

http://cimanet.uoc.edu/cursMates0/IniciacionMatematicas/s2/1_2_1.html

https://aweita.larepublica.pe/magazine/3352-9-trucos-que-tu-profesor-de-matematicas-nunca-te-enseno

3x2+4x−2−x2+7xV3x2+4x−2−x2+7x
3x2+4x−2−x2+7x3x2+4x−2−x2+7x
3x2+4x−2−x2+7x

3x2+4x−2−x2+7x

SISTEMA DE NUMERACIÓN, BASE 2, BASE 3 Y BASE 10

Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema.

Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones.

Un sistema de numeración puede representarse como

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

BASE 2:

En la base 2 solo hay dos dígitos, 0 y 1. Las tablas de suma y multiplicación para la base 2 son muy simples. Son

 

+     0     1     0 0 1   1 1 10

×     0     1     0 0 0   1 0 1

 

Escribir un número en la base 2 significa esencialmente escribirlo como una suma de potencias de 2. Las potencias de 2, comenzando con 20 = 1, en orden creciente, son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, y así. Por ejemplo, 37 = 32 + 4 + 1. Rellenar los términos "faltantes",

37 = 32 + 4 + 1 = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

Por lo tanto, la representación de base 2 de 37 es 100101.
Aquí hay un método para obtener representaciones de base 2 que se pueden usar a mano o con una calculadora. Comience con un número. Si es impar, escriba 1 luego restar 1 y divida entre 2. Si es par, escriba 0 y divida entre 2. Repita este proceso en el número resultante, escribiendo el siguiente dígito a la izquierda del primer dígito. Repite este proceso hasta que llegues a 1, y escribe una final 1

BASE 3

El sistema ternario es el nombre que se le da a la base 3 constante. Para representar cualquier número en el sistema ternario, se utilizan los dígitos del 0, 1, 2. Conversión entre el Sistema Ternario y el Sistema Decimal Decimal a Ternario Se divide el número del sistema decimal entre 3, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 3, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, éste será el número Ternario que buscamos

Transformar el número decimal 5431 en Ternario. El método es muy simple:

5431 dividido entre 3 da 1810 y el resto es igual a 1 1810 dividido entre 3 da 603 y el resto es igual a 1 603 dividido entre 3 da 201 y el resto es igual a 0 201 dividido entre 3 da 67 y el resto es igual a 0 67 dividido entre 3 da 22 y el resto es igual a 1 22 dividido entre 3 da 7 y el resto es igual a 1 7 dividido entre 3 da 2 y el resto es igual a 1 2 dividido entre 3 da 0 y el resto es igual a 2 R/ Ordenamos los restos, del último al primero que están de colores: 211100113

En sistema Ternario, 5431 se escribe 211100113

BASE 10

Base 10 es un recurso que permite representar visualmente los números y su valor posicional.
Sólo deben arrastrar los bloques a la pizarra amarilla para representar un número dado.Como el marcador de la pizarra no vuelve a cero, se debe sumar o restar bloques para lograr el número.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos(2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve(9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen hindú.

Excepto en ciertas culturas, es el sistema de posición usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números; en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa «quatre-vingt», «cuatro veintenas», en español.

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

Los números decimales se pueden representar en la recta real.

POTENCIA, RADICACIÓN, EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FACTORIZACION Y SUS CASOS, SOLUCION GRAFICA DE ECUACIONES Y DESIGUALDAD

POTENCIACIÓN

El uso más habitual del concepto, de todos modos, está asociado a la matemática. En este sentido, la potenciación consiste en elevar un número a una cierta potencia. Esta operación se desarrolla a partir de la participación de una basey un exponente: la base se eleva al exponente.

Veamos un ejemplo. La operación 3 elevado a 4consiste en multiplicar 4 veces el número 3 por sí mismo (lo cual devuelve el resultado 81). En este caso, 3 es la base y 4, el exponente. Esta misma lógica puede aplicarse con números reales, números complejos y diversas clases de estructuras algebraicas. La potenciación tiene varias propiedades, y algunas de ellas son bastante sencillas de comprender en comparación con operaciones más complejas.

PROPIEDADES

1-. Propiedades de las potencias con exponente 0: Cuando una potencia tiene como exponente “0” el resultado siempre sera 1.

a0=1250=1

2-. Propiedades de las potencias con exponente 1: Toda potencia con exponente 1 el resultado sera su base.

a1=a251=25

3-. Multiplicación con misma base: El producto de dos potencias con misma base, es una potencia de misma base y el exponente es la suma de los exponentes.

am⋅an=am+n252⋅255=25(2+5)=257

4-. División de potencias con misma base: El cociente de dos potencias con misma base, es otra potencia de misma base y el exponente es la diferencia de los exponentes.

am:an=am−n252:255=25(2−5)=253

5-. Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente: El producto de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la multiplicación de sus bases y se conserva su exponente.

am⋅bm=(a⋅b)m252⋅52=(25⋅5)2=1252

6-. División de potencias con base distinta y mismo exponente: El cociente de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la división de sus bases y se conserva su exponente.

am:bm=(a:b)m252:52=(25:5)2=52

7-. Potencia de una potencia: El resultado es otra potencia que conserva la base y el exponentes es el producto de los exponentes.

(am)n=am⋅n(252)5=25(2⋅5)=2510

8-. Potencia con exponente negativo: no se pueden resolver, el exponente debe pasar a positivo.

a−m=1am25−2=1252

9-. Potencia con exponente fraccionario:  Es igual al radical donde el denominador es el indice de la raiz y el numerador es el exponente de la raíz

anm=an−−√m=(a−−√m)n2525=252−−−√5=(25−−√5)2

10-. Potencia con exponente fraccionario de numerador 1: Es igual al radical donde el denominador es el indice la la raíz.

a1m=a−−√m2515=25−−√5

CALIFICACIONES

1) Potencias de base natural y exponente natural

En este caso multiplicaremos la base por sí misma las veces que nos indique el exponente.

2) Potencias cuya base es una fracción y su exponente un número natural

El exponente nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí mismos tanto el numerador como el denominador de la fracción.

3) Potencias de base decimal y exponente natural

Multiplicaremos el decimal por sí mismo cuantas veces nos indique el exponente.

Otra manera de resolver una potencia de base decimal, es transformando el decimal a fracción y luego multiplicando la fracción por sí misma las veces que nos indique el exponente.

4) Potencias de base entera y exponente natural

Para resolver estas potencias multiplicaremos el entero por sí mismo las veces que nos indique el exponente.

En el caso de los enteros positivos, se resolverán de la misma manera en que lo hacemos con los números naturales. Pero, ¿que pasará si el entero es negativo?

Como te habrás dado cuenta, cuando estemos frente a potencias cuya base entera sea negativa, el resultado será positivo si el exponente es par y negativo si el exponente es impar.

5) Potencias de base 10

a) Con exponente natural

Como verás, es muy simple resolver potencias de base 10 y exponente natural. El resultado siempre será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente. Así si tenemos , entonces el resultado será un 1 acompañado de 3 ceros, es decir, 1 000.

b) Con exponente entero

Para resolver potencias de base 10 con exponente entero positivo, el procedimiento será el mismo que utilizamos para resolver potencias de base 10 y exponente natural.

Pero, ¿cómo resolvemos aquellas potencias de base 10 y exponente negativo?

Observando la figura, podemos ver que una forma de resolver potencias de base 10 y exponente negativo es transformar la potencia en una fracción donde el numerador siempre es 1 y el denominador será la misma potencia pero con exponente positivo. Luego al dividir la fracción obtenemos el resultado de la potencia.

Una forma más fácil de resolverlas es la siguiente:

–  El resultado siempre será un decimal sin enteros
–  El exponente negativo nos indicará en que posición debemos ubicar el 1 en la parte decimal. Así, el
-1, nos indicará que debemos ubicar el 1 en la primera posición, es decir, los décimos; el -2, nos indica que debemos ubicarlo en la segunda posición, es decir, los centésimos, y así sucesivamente
– Y por último, todos los espacios que queden vacíos a la izquierda del 1 en la parte decimal debemos rellenarlos con ceros

Veamos el siguiente ejemplo:

Importante:

Todas las potencias con base distinta de 0 cuyo exponente sea 0, su resultado será siempre 1.

RADICACIÓN

se conoce como radicación a la operación que consiste en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el índice, da como resultado el radicando.

PROPIEDADES

La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:

Ejemplo

•  =  = 

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador:

Ejemplo

• 

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:

Ejemplo

•  = 

35⋅34⋅3−1⋅34⋅3−652⋅5−7⋅55⋅535⋅24⋅3−7⋅27⋅32⋅2−823⋅34⋅45⋅3−2⋅28⋅4−3⋅37⋅24⋅4222⋅32⋅42⋅34⋅32⋅3092

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresión algebraica:

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios.

9.3 Escribe en lenguaje algebraico:

Tres veces un número es mayor que si al número le sumamos 12.

Respuesta: 3a > a + 12

9.4 La expresión: 

¿es un monomio o un binomio?

Respuesta: Es un monomio, tiene un solo término aunque éste sea un cociente indicado.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica contiene números, letras y signos de operación. Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran números, y por ello pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo las mismas reglas que los números. Las expresiones algebraicas permiten expresar operaciones entre cantidades desconocidas, sustituyendo el valor desconocido por una letra. Al igual que una expresión numérica, una expresión algebraica contiene números y signos de operación entre ellos. Ahora bien, una expresión algebraica también introduce letras, que operan entre sí o con otros números. Un ejemplo de expresión algebraica es: a2 – 3 · c + 5 · d – 7 · a · y Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran números: se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, cumpliendo, como veremos, las mismas propiedades de las operaciones entre números. Las expresiones algebraicas se pueden usar en problemas reales, en los que se desconoce el valor de algún elemento. Así, por ejemplo, si una persona va de compras y adquiere 3 Kg de limones a 1,09 € el Kg, y 2 Kg de patatas a 0,78 € el Kg, para calcular el valor de la compra, es evidente que debe hacerse: 3 · 1,09 + 2 · 0,78 Ahora bien, si no se supiera el valor del Kg de limones, ni el valor del Kg de patatas, podría asociarse cada valor a una letra (siempre que sea posible, relacionada con el nombre; por ejemplo, l para los limones, y p para las patatas); el valor de la compra sería igual a: 3 · l + 2 · p Esta expresión algebraica permite calcular el valor de la compra en el momento en el que se conozcan los precios de los limones y de las patatas, sustituyendo las dos letras por sus valores reales. Normalmente, al multiplicar un número por una letra no se pone el signo de multiplicación, sino que se sobreentiende que se trata de un producto, de manera que la expresión algebraica anterior también puede escribirse como: 2l + 3p Las letras de una expresión algebraica también pueden sustituirse por números. Por ejemplo, en la expresión algebraica 4x – 2y + 6 se puede sustituir la letra x por el valor 3, y la letra y, por el valor 4. En este caso, la expresión algebraica se transformaría en: 4·3 2·4 6 x y ↑ ↑ − + El valor numérico de la expresión algebraica 4x – 2y + 6 cuando la x es 3 e y es 4, es igual a 4 · 3 – 2 · 4 + 6, es decir, es igual a 10. En definitiva, un valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo sus letras por números y hallando su resultado. Es evidente que el valor numérico de una expresión algébrica depende de los valores concretos que reciban las letras. Así, por ejemplo, la expresión algebraica anterior, 4x – 2y + 6 cuando x = 5 e y = 2, su valor numérico es igual a 4 · 5 – 2 · 2 + 6 = 22 cuando x = –3 e y = –1, su valor numérico es igual a 4 · (–3) – 2 · (–1) + 6 = –4 cuando x = –2 e y = 5, su valor numérico es igual a 4 · (–2) – 2 · 5 + 6 = –12 

MONOMIOS

Los monomios son expresiones algebraicas muy utilizadas que constan de una constante, a la que se le llama coeficiente y una parte literal, que se representa con letras y que puede estar elevada a distintas potencias. Por ejemplo, el monomio 2x², tiene al 2 como su coeficiente y x² es la parte literal. En varias oportunidades la parte literal puede estar compuesta por una multiplicación de incógnitas, como por ejemplo en el caso de 2xy. Cada una de estas letras recibe el nombre de indeterminada o variables.

BINOMIOS

Es una expresión algebraica que se compone de dos términos, donde se enlazan dos monomios que se suman o restan (a+b) o (a-b). Todo binomio es un polinomio, pero las expresiones algebraicas pueden contar con más de dos términos por lo cual existen polinomios que no son binomios, de tres, cuatro o más términos.

Para averiguar las potencias de un binomio se recurre a la llamada fórmula del binomio de Newton, que consiste en un algoritmo donde se emplean una sucesión de números combinatorios o coeficientes binomiales.

El grado de un binomio es el que corresponde a su término de mayor grado. Los coeficientes de un monomio pueden sumarse si son semejantes entre sí y el resultado es un monomio, pudiendo aplicarse las propiedades conmutativa y asociativa.

La suma de un binomio al cuadrado (a + b)2 es igual al primer término al cuadrado sumado al producto de dos por el producto del primer término por el segundo, a lo que se le suma el cuadrado del segundo término: a2 + 2 • a • b + b2

La resta de un binomio al cuadrado es igual al primer término al cuadrado, menos dos por el producto del primer término por el segundo sumado al cuadrado del segundo término.

También se habla de binomio cuando dos personas actúan en conjunto y en forma cooperativa, potenciando sus habilidades, por ejemplo: “Juan y María forman un binomio muy eficaz a la hora de elaborar proyectos científicos”, “Roque y Federico son hermanos y actúan como un binomio a la hora de proteger a su familia” o “La fórmula presidencial se complementa perfectamente, el Presidente y su Vicepresidente forman un binomio muy prometedor”.

FACTORIZACION

En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los factores juntos polinómicas a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de términos.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmossofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x² y²  - 28x³ + 56x⁴

R: 14x²  (y²  - 2x + 4x²)           

Ejemplo 2:

X³ + x⁵ – x⁷     =     R:  x³ (1 + x²  - x⁴)         

Ejemplo 3:

100a² b³c –150ab²c²  + 50 ab³c³ - 200abc²= 

R:  50abc (2ab² – 3bc  +b²c² – 4c)       

Factor Común Polinomio:

  

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R:  (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) -  (x + y – 1)( 3x +2)

: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

     -z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a ² + 1) – a² – 1

R: ( a + b -1) (a ² + 1) –( a² + 1)

     ( a² + 1)(a + b - 1)-1

     ( a² + 1)(a + b  -1 -1)

      ( a² + 1)(a + b  -2)

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINO

Ejemplo 1:

a² + ab + ax + bx

(a² + ab)  +  (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:

4am³ – 12 amn – m²  + 3n

= (4am³ – 12amn) – (m² +  3n)

=4am (m² – 3n) – (m² + 3n)

R: (m² – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x

= (a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x)

= (a²b³ + a²b³x²  – 3a²b³x) – (n4 + n⁴x² - 3n⁴x)

= a²b³ (1 + x² – 3x)- n⁴ (1 + x² -3x)

R:   (1 + x² – 3x) (a²b³ -  n⁴ )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada  de a²  = a

Raíz cuadrada  de b²   = b

Doble producto sus raíces

(2 X a  X b) 2ab  (cumple)   

R: (a – b) ²

Ejemplo 2:

49m ⁶– 70 am³n² + 25 a²n⁴

Raíz cuadrada  de 49m⁶  = 7m³  

Raíz cuadrada  de 25a²n⁴  = 5an²

Doble producto sus raíces

(2 X 7m³  X  5a²n²) =  70am³ n²  (cumple)   

R: (7m – 5an²)

Ejemplo 3:

9b² – 30 ab + 25a²

Raíz cuadrada  de 9b²  = 3b  

Raíz cuadrada  de 25 a²= 5a

Doble producto sus raíces

(2 X 3b  X  5a) =  30ab  (cumple)  

R: (3b - 5a) ²

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

a² + 2a (a – b) + (a – b) ²

Raíz cuadrada  de a²  = a  

Raíz cuadrada  de (a – b) ² = (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a  X  (a – b) =  2a(a – b) (cumple)   

R: (a + (a – b)) ²

    (a + a – b) = (2a –b) ²   

Ejemplo 2: 

(x + y) ² – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) ²

Raíz cuadrada  de (x + y)²  =(x + y)  

Raíz cuadrada  de (a + x) ² = (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y)  X  (a + x)) =  2(x +y)(a + x) (cumple)   

R: ((x +y) – (a + x)) ²

(x + y – a – x) ² = (y – a) ²

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 

Ejemplo 1:X² - y ²

x      y  = Raíces 

Se multiplica la suma por la diferencia

                R: = (x + y) (x- y) 

Ejemplo 2:

100m²n⁴ - 169y⁶

10mn²           13y³ =  Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia    

R: = (10mn² + 13y³) (10mn²- 13y³)

Ejemplo 3:

1 - 9a²b⁴c⁶d⁸

13 ab²c³d⁴    =  Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia     

R: = (1 + 3 ab²c³d⁴) (1- 3 ab²c³d⁴)

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

(a - 2b)² - (x +  y)²

  (a - 2b)      (x + y)   = Raíces 

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((a - 2b) + (x + y))  ((a - b) -  (x + y))

(a - 2b + x + y)   (a -2b - x - y)

Ejemplo 2: 

16a¹⁰ - (2a² + 3) ²

4a⁵         (2a² + 3)  =  Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((4a⁵ + (2a² + 3))( 4a⁵ - (2a² + 3))

(4a⁵ + 2a² + 3)(4a⁵ - 2a² - 3)

Ejemplo 3:

36(m + n)² - 121(m - n)²

6(m + n)           11(m - n)   =  Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia      

 R: = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n)) 

 (6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)

 (17m + 5n ) (5m +17n)

CASOS ESPECIALES

COMBINACION DE LOS CASOS III Y IV

Ejemplo 1:

a² + 2ab + b² - x²

(a² + 2ab + b²) - x²

(a + b) ² - x²

R : (a + b + x)(a + b - x)

Ejemplo 2:

1 - a² + 2ax - x²

1 - (a² + 2ax - x²⁾

1 - (a - x)²

R: (1 - a + x) (1 + a + x)

Ejemplo 3: 

16a² - 1 - 10m + 9x² - 24ax - 25m²

(16a² -24ax +  9x²) - (1 + 10m + 25m²)

(4a - 3x) ² - (1 + 5m) ²

R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

 

Ejemplo 1:

a⁴ +    a² + 1

    +    a²       - a²

a⁴ + 2a²+ 1 - a²

(a⁴ + 2a²+ 1) - a²

(a² + 1)² - a²

R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

Ejemplo 2: 

25⁴ + 54a²b² + 49b⁴

       + 16 a²b²             - 16 a²b²­

25⁴ + 70a²b² + 49b⁴ - 16 a²b²­

(25⁴ + 70a²b² + 49b⁴) - 16 a²b²­

(5a² + 7b)²- 16 a²b²

R: (5a² + 7b² + 16 ab) (5a² + 7b2- 16 ab)

     (5a² + 16ab +7b²) (5a² - 16 ab +7b²)

Ejemplo 3:

81a⁴b⁸ - 292a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶

              +     4 a²b⁴x⁸                  – 4 a²b⁴x⁸

81a⁴b⁸ - 288a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶  – 4 a²b⁴x⁸

(81a⁴b⁸ - 288a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶)  – 4 a²b⁴x⁸

(9a²b⁴ - 16x⁸)²  – 4 a²b⁴x⁸

R: (9a²b⁴ - 16x⁸ + 2 ab²x⁴)  (9a²b⁴ - 16x⁸ –  2 ab²x⁴)

    (9a²b⁴ + 2 ab²x⁴- 16x⁸)  (9a²b⁴ –  2 ab²x⁴ - 16x⁸  )

CASO ESPECIAL

FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

Ejemplo 1: 

x⁴+ 64y⁴

x⁴                            + 64y⁴
      + 16x²y²                  - 16x²y²      
x⁴   + 16x²y²  + 64y⁴     - 16x²y²

(x⁴   + 16x²y²  + 64y⁴)   - 16x²y²

(x²   +  8y²)²   - 16x²y²

 R: (x²   +  8y² + 4xy)  (x²   +  8y² - 4xy)

    (x²   + 4xy +  8y²)  (x²   - 4xy +  8y²)

 Ejemplo 2:

4m⁴ + 81n⁴

4m⁴                     + 81n⁴

            + 36m²n²                 - 36m²n²
4m⁴  + 36m²n²  + 81n⁴   - 36m²n²

(4m⁴  + 36m²n² +81n⁴)   - 36m²n²

(2m² + 9n²)² - 6m²n²

R: (2m² + 9n² - 6mn) (2m² + 9n² - 36mn)

     (2m² + 6mn + 9n²) (2m²  - 6mn + 9n²)Ejemplo 3: 

81a⁴ + 64b⁴

81a⁴                   + 64b⁴

          +144a²b²              - 144a²b²
81a⁴  +144 a²b² +64b⁴ -144 a²b²

(81a⁴  +144 a²b² +64b⁴) -144 a²b²

(9a² + 8b²)² - 144 a²b²

R: (9a² + 8b² - 12 ab) (9a² + 8b² - 12 ab)

     (9a² + 12 ab + 8b²) (9a² - 12 ab + 8b²)CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c

                                                         

Ejemplo 1:x² + 7x + 10 

 R :( x + 5 )  ( x + 2 )

Ejemplo 2:

n² + 6n – 16  

R: ( n  +  8 )  ( n – 2 ) 

 Ejemplo 3:

a² + 42a + 432

R: ( a + 24   )   (a   + 18  )

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1
X⁸ – 2x⁴ – 80

R: ( x⁴  – 10  )   (  x⁴   +  8  )

 Ejemplo 2:

(m – n)² + 5(m – n) – 24 
 
R: (( m – n) +   8 )   ((m – n)   –  3 )    

( m – n +   8 )   (m – n  –  3 )    

Ejemplo 3:

m² + abcm – 56a²b²c²

 
R: ( m  +   8abc  )  (m   –  7abc) 

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA  ax² + bx + c

Ejemplo 1:

 

2x² + 3x – 2

(2) 2x² +(2) 3x –(2) 2

= 4x² + (2) 3x – 4

= (2x +  4 )   (2x – 1 )

         2         x      1

R= (x  +  2)  (2x – 1)

Ejemplo 2:

16m + 15m² – 15

15m² + 16m – 15 

15(15m²) +(15) 16m –(15) 15

= 225m² + (15) 16m – 225 

= (15 m  + 25 )   ( 15 m – 9 )

               5         x        3

R= ( 3m + 5 )  ( 5m  – 3 )  

Ejemplo 3:

30x² + 13x –10  

(30) 30x2 +(30) 13x – (30) 10  

900x² + (30)13x – 300

= (30x  + 25  )   (30 x – 12 )

              5         x        6

= (6x + 5) (5x – 2) 

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1: 6x⁴ + 5x² – 6

(6) 6x⁴ + (6)5x² – (6) 6

36x⁴ + (6)5x² – 36

= (6x² + 9 )  (6x² – 4 )

           3      x      2 = (2x² + 3) (3x² – 2) 

Ejemplo 2:

 6m² – 13am – 15a²

(6) 6m² – (6) 13am – (6)15a²

36m² – (6) 13am – 90 a²

 = (6m – 18a )   (6m  + 5a )

            6         x      1 =  (m – 3a )  (6m  +  5a)

 Ejemplo 3:

18a² + 17 ay – 15y²

(18) 18a² + (18)17 ay – (18) 15y²

324a² + (18) 17ay – 270y²

= (18a + 27  )   (18a – 10 )

            9          x       2= (2a +  3y) (9a – 5y)

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Ejemplo 1:

a³ + 3a² + 3a + 1

Raíz cúbica de a³ =  a
Raíz cúbica de 1   = 1
Segundo término= 3(a)²(1) = 3a²
Tercer término     = 3(a)(1)² = 3

R:  (a + 1)³

Ejemplo 2:

 64x⁹ – 125y¹² – 240x⁶y⁴ + 300x³y⁸ 

64x⁹ – 240x⁶y⁴ + 300x³y⁸ – 125y¹²
Raíz cúbica de 64x⁹ = 4x³
Raíz cúbica de 125y¹²  = 5y⁴
Segundo término= 3(4x³)²(5y⁴) = 240x⁶y⁴
Tercer término     = 3(4x³)(5y⁴)² = 300x³y⁸R:  ( 4x³ – 5y⁴ )³

 Ejemplo 3:

125x¹² + 600x⁸y⁵ + 960x⁴y¹⁰ + 512y¹⁵

Raíz cúbica de 125x¹² = 5x⁴
Raíz cúbica de 512y¹⁵   =8y⁵
Segundo término= 3(5x⁴)²(8y⁵) =600x⁸y⁵
Tercer término     = 3(5x⁴)(8y⁵)² =960x⁴y¹⁰

 R:  ( 5x⁴ + 8y⁵ )³

 CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Ejemplo 1:1 + a³  

(1 + a) (1² – 1(a) +( a)²)

R:(1 + a) (1 – a + a²)

Ejemplo 2:

x³ – 27   
(x – 3 ) ((x)² + (x)3 + (3)²)

 R: (x – 3 ) (x² + 3x + 9)

Ejemplo 3:

x⁶ – 8y¹²
(x² – 2y⁴) ((x²)² + (x²)(2y4) + (2y⁴)²)

R: (x² – 2y⁴) (x⁴ + 2x² y⁴ + 4y⁸)

 CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1: 

1 + (x + y)³  

(1 +(x + y) (1² – 1(x + y) +(x + y)²)

R:(1 + x + y) (1 – (x + y) + (x + y)²)

    (1 + x + y) (1 – x – y  + x² + 2xy + y²)

Ejemplo 2:

(m – 2)³  + (m – 3)³  

((m – 2) + (m – 3) ((m – 2)² – ((m – 2) (m – 3) + (m – 3)²)

R: (m – 2+ m – 3) ((m² – 4m + 4) – ((m – 2) (m – 3)) + (m² – 6m  + 9))

    (2m – 5) (m² – 4m + 4) – (m² – 3m  – 2m + 6) + (m² – 6m  + 9))

    (2m – 5) (m² – 4m + 4– m² + 3m  + 2m – 6 + m² – 6m  + 9)

    (2m – 5) (m² – 5m +7)

Ejemplo 3:

(x – y)³ – 8 

((x – y) – 2)  ((x– y)² + 2(x – y) + (2)²)

R: (x – y – 2) (x² – 2xy + y² + 2x– 2y + 4) 

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Ejemplo 1:

a⁵ + 1

a⁵ + 1    =  a⁴ – a³ + a² – a + 1

a + 1 Ejemplo 2: 

m⁷ – n⁷

m⁷ – n⁷    =  m⁶ + m⁵n + m⁴n² + m³n³ + m²n⁴+ mn⁵ + n⁶

 m – n  

Ejemplo 3:

x⁷ + 128

x⁷ + 128    =  x⁶ – 2x⁵ + 4x⁴ – 8x³ +16x²  – 32x + 64
x + 2

SOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES

Recuerda que para graficar una ecuación lineal con dos incógnitas, es igual que las funciones lineales, debes hacer una tabla para registrar mínimo dos puntos (x,y) , es decir, asignas un valor a la x , para obtener el valor de y (o viceversa) al resolver la ecuación cumpliendo con la igualdad. Después, al unir los puntos con una recta tienes el gráfico de una ecuación lineal con dos incógnitas. Debes volver a repetir el proceso con la otra ecuación lineal con dos incógnitas. [Comprueba tus resultados con las tablas, al cambiar los valores a la x por los que utilizaste, para comprobar el valor de la y ] Encuentra la solución de los sistemas de ecuaciones entregados por el profesor, utilizando el applet, para luego responder las preguntas. Mueve los parámetros a, b, c, d,e y f (barras) para obtener las ecuaciones lineales con dos incógnitas, de cada sistema de ecuaciones lineales. La solución del sistema de ecuaciones lineales es el punto donde se cortan ambas rectas.

Una Solución	Sin Solución	Soluciones Infinitas
Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe sólo una solución para las ecuaciones.	S las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existe ninguna solución para las ecuaciones.	S las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para las ecuaciones.

SOLUCIÓN GRÁFICA DE DESIGUALDADES

El método gráfico permite simplificar un poco la complejidad de los cálculos para obtener la solución de una desigualdad lineal, debido a que la interpretación geométrica suele ser más simple: basta con comparar el valor de las ordenadas de las rectas y sus pendientes para decidir cuál es el conjunto solución.

Encontrar el conjunto solución con el método gráfico, consiste en gráficar las rectas que definen las expresiones lineales de la desigualdad, encontrar la intersección entre ellas (si es que existe) y decidir, por medio del análisis de los valores de las abscisas, cuál es el conjunto solución de la desigualdad.

Para lograr esto, es necesario saber cómo encontrar el punto de intersección entre dos rectas, lo cual se realiza resolviendo el sistema de ecuaciones lineales generado por la desigualdad.

ENLACES:
https://www.youtube.com/watch?time_continue=4&v=JhXkQulf9MM

https://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U06_L3_T1_text_final_es.html

https://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U06_L1_T1_text_final_es.html

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/potencias-que-son-y-para-que-sirven/