matemática para los ingenieros: abril 2018

POTENCIACIÓN

El uso más habitual del concepto, de todos modos, está asociado a la matemática. En este sentido, la potenciación consiste en elevar un número a una cierta potencia. Esta operación se desarrolla a partir de la participación de una basey un exponente: la base se eleva al exponente.

Veamos un ejemplo. La operación 3 elevado a 4consiste en multiplicar 4 veces el número 3 por sí mismo (lo cual devuelve el resultado 81). En este caso, 3 es la base y 4, el exponente. Esta misma lógica puede aplicarse con números reales, números complejos y diversas clases de estructuras algebraicas. La potenciación tiene varias propiedades, y algunas de ellas son bastante sencillas de comprender en comparación con operaciones más complejas.

PROPIEDADES

1-. Propiedades de las potencias con exponente 0: Cuando una potencia tiene como exponente “0” el resultado siempre sera 1.

a0=1250=1

2-. Propiedades de las potencias con exponente 1: Toda potencia con exponente 1 el resultado sera su base.

a1=a251=25

3-. Multiplicación con misma base: El producto de dos potencias con misma base, es una potencia de misma base y el exponente es la suma de los exponentes.

am⋅an=am+n252⋅255=25(2+5)=257

4-. División de potencias con misma base: El cociente de dos potencias con misma base, es otra potencia de misma base y el exponente es la diferencia de los exponentes.

am:an=am−n252:255=25(2−5)=253

5-. Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente: El producto de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la multiplicación de sus bases y se conserva su exponente.

am⋅bm=(a⋅b)m252⋅52=(25⋅5)2=1252

6-. División de potencias con base distinta y mismo exponente: El cociente de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la división de sus bases y se conserva su exponente.

am:bm=(a:b)m252:52=(25:5)2=52

7-. Potencia de una potencia: El resultado es otra potencia que conserva la base y el exponentes es el producto de los exponentes.

(am)n=am⋅n(252)5=25(2⋅5)=2510

8-. Potencia con exponente negativo: no se pueden resolver, el exponente debe pasar a positivo.

a−m=1am25−2=1252

9-. Potencia con exponente fraccionario: Es igual al radical donde el denominador es el indice de la raiz y el numerador es el exponente de la raíz

anm=an−−√m=(a−−√m)n2525=252−−−√5=(25−−√5)2

10-. Potencia con exponente fraccionario de numerador 1: Es igual al radical donde el denominador es el indice la la raíz.

a1m=a−−√m2515=25−−√5

CALIFICACIONES

1) Potencias de base natural y exponente natural

En este caso multiplicaremos la base por sí misma las veces que nos indique el exponente.

2) Potencias cuya base es una fracción y su exponente un número natural

El exponente nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí mismos tanto el numerador como el denominador de la fracción.

3) Potencias de base decimal y exponente natural

Multiplicaremos el decimal por sí mismo cuantas veces nos indique el exponente.

Otra manera de resolver una potencia de base decimal, es transformando el decimal a fracción y luego multiplicando la fracción por sí misma las veces que nos indique el exponente.

4) Potencias de base entera y exponente natural

Para resolver estas potencias multiplicaremos el entero por sí mismo las veces que nos indique el exponente.

En el caso de los enteros positivos, se resolverán de la misma manera en que lo hacemos con los números naturales. Pero, ¿que pasará si el entero es negativo?

Como te habrás dado cuenta, cuando estemos frente a potencias cuya base entera sea negativa, el resultado será positivo si el exponente es par y negativo si el exponente es impar.

5) Potencias de base 10

a) Con exponente natural

Como verás, es muy simple resolver potencias de base 10 y exponente natural. El resultado siempre será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente. Así si tenemos

, entonces el resultado será un 1 acompañado de 3 ceros, es decir, 1 000.

b) Con exponente entero

Para resolver potencias de base 10 con exponente entero positivo, el procedimiento será el mismo que utilizamos para resolver potencias de base 10 y exponente natural.

Pero, ¿cómo resolvemos aquellas potencias de base 10 y exponente negativo?

Observando la figura, podemos ver que una forma de resolver potencias de base 10 y exponente negativo es transformar la potencia en una fracción donde el numerador siempre es 1 y el denominador será la misma potencia pero con exponente positivo. Luego al dividir la fracción obtenemos el resultado de la potencia.

Una forma más fácil de resolverlas es la siguiente:

– El resultado siempre será un decimal sin enteros
– El exponente negativo nos indicará en que posición debemos ubicar el 1 en la parte decimal. Así, el
-1, nos indicará que debemos ubicar el 1 en la primera posición, es decir, los décimos; el -2, nos indica que debemos ubicarlo en la segunda posición, es decir, los centésimos, y así sucesivamente
– Y por último, todos los espacios que queden vacíos a la izquierda del 1 en la parte decimal debemos rellenarlos con ceros

Veamos el siguiente ejemplo:

Importante:

Todas las potencias con base distinta de 0 cuyo exponente sea 0, su resultado será siempre 1.

RADICACIÓN

se conoce como radicación a la operación que consiste en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el índice, da como resultado el radicando.

PROPIEDADES

La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores: $\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Ejemplo

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12.$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.$

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador:

Ejemplo

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:

Ejemplo

$\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}$ = $\sqrt[27]{5}.$

35⋅34⋅3−1⋅34⋅3−652⋅5−7⋅55⋅535⋅24⋅3−7⋅27⋅32⋅2−823⋅34⋅45⋅3−2⋅28⋅4−3⋅37⋅24⋅4222⋅32⋅42⋅34⋅32⋅3092

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresión algebraica:

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios.

9.3 Escribe en lenguaje algebraico:

Tres veces un número es mayor que si al número le sumamos 12.

Respuesta: 3a > a + 12

9.4 La expresión:

¿es un monomio o un binomio?

Respuesta: Es un monomio, tiene un solo término aunque éste sea un cociente indicado.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica contiene números, letras y signos de operación. Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran números, y por ello pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo las mismas reglas que los números. Las expresiones algebraicas permiten expresar operaciones entre cantidades desconocidas, sustituyendo el valor desconocido por una letra. Al igual que una expresión numérica, una expresión algebraica contiene números y signos de operación entre ellos. Ahora bien, una expresión algebraica también introduce letras, que operan entre sí o con otros números. Un ejemplo de expresión algebraica es: a2 – 3 · c + 5 · d – 7 · a · y Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran números: se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, cumpliendo, como veremos, las mismas propiedades de las operaciones entre números. Las expresiones algebraicas se pueden usar en problemas reales, en los que se desconoce el valor de algún elemento. Así, por ejemplo, si una persona va de compras y adquiere 3 Kg de limones a 1,09 € el Kg, y 2 Kg de patatas a 0,78 € el Kg, para calcular el valor de la compra, es evidente que debe hacerse: 3 · 1,09 + 2 · 0,78 Ahora bien, si no se supiera el valor del Kg de limones, ni el valor del Kg de patatas, podría asociarse cada valor a una letra (siempre que sea posible, relacionada con el nombre; por ejemplo, l para los limones, y p para las patatas); el valor de la compra sería igual a: 3 · l + 2 · p Esta expresión algebraica permite calcular el valor de la compra en el momento en el que se conozcan los precios de los limones y de las patatas, sustituyendo las dos letras por sus valores reales. Normalmente, al multiplicar un número por una letra no se pone el signo de multiplicación, sino que se sobreentiende que se trata de un producto, de manera que la expresión algebraica anterior también puede escribirse como: 2l + 3p Las letras de una expresión algebraica también pueden sustituirse por números. Por ejemplo, en la expresión algebraica 4x – 2y + 6 se puede sustituir la letra x por el valor 3, y la letra y, por el valor 4. En este caso, la expresión algebraica se transformaría en: 4·3 2·4 6 x y ↑ ↑ − + El valor numérico de la expresión algebraica 4x – 2y + 6 cuando la x es 3 e y es 4, es igual a 4 · 3 – 2 · 4 + 6, es decir, es igual a 10. En definitiva, un valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo sus letras por números y hallando su resultado. Es evidente que el valor numérico de una expresión algébrica depende de los valores concretos que reciban las letras. Así, por ejemplo, la expresión algebraica anterior, 4x – 2y + 6 cuando x = 5 e y = 2, su valor numérico es igual a 4 · 5 – 2 · 2 + 6 = 22 cuando x = –3 e y = –1, su valor numérico es igual a 4 · (–3) – 2 · (–1) + 6 = –4 cuando x = –2 e y = 5, su valor numérico es igual a 4 · (–2) – 2 · 5 + 6 = –12

MONOMIOS

Los monomios son expresiones algebraicas muy utilizadas que constan de una constante, a la que se le llama coeficiente y una parte literal, que se representa con letras y que puede estar elevada a distintas potencias. Por ejemplo, el monomio 2x², tiene al 2 como su coeficiente y x² es la parte literal. En varias oportunidades la parte literal puede estar compuesta por una multiplicación de incógnitas, como por ejemplo en el caso de 2xy. Cada una de estas letras recibe el nombre de indeterminada o variables.

Resultado de imagen para coeficiente de un monomio

BINOMIOS

Es una expresión algebraica que se compone de dos términos, donde se enlazan dos monomios que se suman o restan (a+b) o (a-b). Todo binomio es un polinomio, pero las expresiones algebraicas pueden contar con más de dos términos por lo cual existen polinomios que no son binomios, de tres, cuatro o más términos.

Para averiguar las potencias de un binomio se recurre a la llamada fórmula del binomio de Newton, que consiste en un algoritmo donde se emplean una sucesión de números combinatorios o coeficientes binomiales.

El grado de un binomio es el que corresponde a su término de mayor grado. Los coeficientes de un monomio pueden sumarse si son semejantes entre sí y el resultado es un monomio, pudiendo aplicarse las propiedades conmutativa y asociativa.

La suma de un binomio al cuadrado (a + b)2 es igual al primer término al cuadrado sumado al producto de dos por el producto del primer término por el segundo, a lo que se le suma el cuadrado del segundo término: a2 + 2 • a • b + b2

La resta de un binomio al cuadrado es igual al primer término al cuadrado, menos dos por el producto del primer término por el segundo sumado al cuadrado del segundo término.

También se habla de binomio cuando dos personas actúan en conjunto y en forma cooperativa, potenciando sus habilidades, por ejemplo: “Juan y María forman un binomio muy eficaz a la hora de elaborar proyectos científicos”, “Roque y Federico son hermanos y actúan como un binomio a la hora de proteger a su familia” o “La fórmula presidencial se complementa perfectamente, el Presidente y su Vicepresidente forman un binomio muy prometedor”.

FACTORIZACION

En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los factores juntos polinómicas a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de términos.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmossofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x² y² - 28x³ + 56x⁴

R: 14x² (y² - 2x + 4x²)

Ejemplo 2:

X³+ x⁵ – x⁷ = R: x³ (1 + x² - x⁴)

Ejemplo 3:

100a²b³c –150ab²c² + 50 ab³c³ - 200abc²=

R: 50abc (2ab² – 3bc +b²c² – 4c)

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)

: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

-z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a ² + 1) – a² – 1

R: ( a + b -1) (a ² + 1) –( a² + 1)

( a² + 1)(a + b - 1)-1

( a² + 1)(a + b -1 -1)

( a² + 1)(a + b -2)

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINO

Ejemplo 1:

a² + ab + ax + bx

(a² + ab) + (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:

4am³ – 12 amn – m² + 3n

= (4am³ – 12amn) – (m² + 3n)

=4am (m² – 3n) – (m² + 3n)

R: (m² – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x

= (a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x)

= (a²b³ + a²b³x² – 3a²b³x) – (n4 + n⁴x²- 3n⁴x)

= a²b³ (1 + x² – 3x)- n⁴ (1 + x² -3x)

R: (1 + x² – 3x) (a²b³ - n⁴ )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de b²= b

Doble producto sus raíces

(2 X a X b) 2ab (cumple)

R: (a – b)²

Ejemplo 2:

49m ⁶– 70 am³n² + 25 a²n⁴

Raíz cuadrada de 49m⁶ = 7m³

Raíz cuadrada de 25a²n⁴= 5an²

Doble producto sus raíces

(2 X 7m³ X 5a²n²) = 70am³ n² (cumple)

R: (7m – 5an²)

Ejemplo 3:

9b² – 30 ab + 25a²

Raíz cuadrada de 9b² = 3b

Raíz cuadrada de 25 a²= 5a

Doble producto sus raíces

(2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple)

R: (3b - 5a) ²

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

a² + 2a (a – b) + (a – b)²

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de (a – b)²= (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a X (a – b) = 2a(a – b) (cumple)

R: (a + (a – b))²

(a + a – b) = (2a –b)²

Ejemplo 2:

(x + y)² – 2(x+ y)(a + x) + (a + x)²

Raíz cuadrada de (x + y)² =(x + y)

Raíz cuadrada de (a + x)²= (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple)

R: ((x +y) – (a + x))²

(x + y – a – x)² = (y – a) ²