SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVICION

SUMA 

Como operación matemática, la suma o adhesión consiste en añadir dos números o más para obtener una cantidad total. El proceso también permite reunir dos grupos de cosas para obtener un único conjunto. Por ejemplo: si tengo tres manzanas y tomo otras dos, tendré cinco manzanas (3+2=5).

LEYES DE LA SUMA:

Las leyes de la suma son 5: Ley de la uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa y ley de monogamia.

LEY DE UNIFORMIDAD

“La suma de varios números dados tiene un valor único o siempre es igual”

Esta ley indica que siempre que se sumen los mismos números, aunque sean cosas diferentes, el resultado no cambiará.

Ejemplo:

a).- 32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos
b).- 32 pollos + 21 pollos = 53 pollos
c).-32 pesos + 21 pesos = 53 pesos

Es decir, la suma de 32 + 21, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos, siempre será igual a 53.

LEY CONMUTATIVA

“El orden de los sumandos no altera la suma”

Esta ley indica que al sumar los mismos números, no importa el orden en el que se sumen los sumandos, el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo:

32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos
21 vestidos + 32 vestidos = 53 vestidos
Es decir, la suma de 32 + 21 ó 21 + 32 cualquiera que sea el orden de los sumandos, siempre será igual a 53.

LEY ASOCIATIVA

“La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma”

Esta ley indica que al sumar varios números, su resultado no se altera si yo sumo primero dos de ellas (indicando la asociación dentro de un paréntesis) y a este resultado le sumo el otro (otros ) sumandos.

Ejemplo:

15 + 20 + 3 = 38
(15 + 20)+ 3 = 38
35 + 3 = 38

Es decir, la suma 15 + 20 + 3 = 38 no cambia su resultado si yo sumo 35 + 3 = 38 (después de asociar primero 15 + 20 = 35).

También podría sumar 15 + 23 = 38 (después de asociar 20 + 3 = 23).

LEY DISOCIATIVA

“La suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumandos en dos o más sumandos”

Esta ley indica que al descomponer un sumando en dos o más sumandos más pequeños, su resultado no se altera.

Ejemplo.
Si tengo la suma 45 + 83, puedo descomponer el 45 en dos sumandos: 40 + 5 y el 83 en 80 + 3 y si sumo estos sumandos el resultado es el mismo.
45 + 83 = 128
40 + 5 + 80 + 3 = 128
Esta ley es recíproca de la ley asociativa.

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que al sumar sumandos con desigualdades (mayor que o menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades.

Ejemplo:

Si tengo la suma 12 < 43 
10 = 10 
12 + 10 < 43 + 10 
22 < 53

Segunda parte. “Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que al sumar sumandos con desigualdades iguales, resulta otra desigualdad igual.

Ejemplo:

Si tengo la suma 43 > 12
15 > 10 
43 + 15 > 12 + 10 
58 > 22

PROPIEDADES DE LA SUMA:

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asosiativa, distributiva y elemento neutro.

Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4

Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)

Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0 = 5.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

RESTA 

La resta consiste en el desarrollo de una descomposición: ante una determinada cantidad, debemos eliminar una parte para obtener el resultado, que recibe el nombre diferencia. Por ejemplo: si tengo nueve peras y regalo tres, me quedaré con seis peras (9-3=6). En otras palabras, a la cantidad nueve le quito tres y la diferencia será seis. El primer número se conoce como minuendo y el segundo, como sustraendo; por lo tanto: minuendo – sustraendo = diferencia.

LEYES DE LA RESTA O SUSTRACCIÓN

Son dos: Ley de la uniformidad y ley de monotonía.

LEY DE UNIFORMIDAD

“La diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual”

Esta ley indica que siempre que se resten los mismos números, aunque sean cosas diferentes, el número del resultado no cambiará.

Ejemplo.
a).- La diferencia 45 – 5 tiene un valor único 45 – 5 = 40, porque 40 es el único número que sumado con 5 da 45
b).- La diferencia 198 – 69 tiene un valor único 198 – 69 = 129, porque 129 es el único número que sumado con 69 da 198

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Restando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades, siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que si de una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), el resultado será igual a una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo.

Ejemplo.
Si tengo la resta;
25 > 13 ;minuendo (desigualdad con signo “mayor que”)
4 = 4 ; sustraendo (una igualdad)

25-5 > 13 – 4 resta o diferencia (con signo “mayor que”, igual que el minuendo)

21 > 11

Segunda parte. “Si de una igualdad (minuendo) se resta una desigualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo“

Ejemplo.

Si tengo la resta:

269 = 269 minuendo

169 > 69 sustraendo (desigualdad con signo “mayor que”)
269-169 < 269-69

100 < 200 resta o diferencia (desigualdad con signo “menor que”, contrario al substraendo)

Tercera parte. “Si de una desigualdad (minuendo) se resta otra desigualdad de sentido contrario,(substraendo), siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo“

Ejemplo.

Si tengo la resta:

309 > 209 minuendo (desigualdad con signo “mayor que”)

100 < 200 sustraendo (desigualdad con signo “menor que”)

309-100 > 209-200

209 > 9 resta o diferencia (desigualdad con signo “mayor que”, igual al minuendo)

PROPIEDADES DE LA RESTA

La resta no tiene propiedades conmutativa y asociativa de la suma ya que no se pueden aplicar; es decir
– La resta NO ES CONMUTATIVA porque si cambiamos el orden del minuendo y el substraendo vamos a obtener un resultado distinto, ejemplo:

10 – 7 = 3
7 – 10 = -3

En este ejemplo vemos como al cambiar el orden de minuendo y substraendo obtenemos como resultado un número negativo.

– La resta NO ES ASOCIATIVA ya que no se pueden asociar de otra manera los valores de la resta, ejemplo:

(7 – 4) – 2 = 1
7 – (4 – 2) = 5

En este ejemplo podemos ver que al cambiar la forma de asociar los valores en la resta el resultado varia, por lo tanto a la resta no se le puede aplicar la propiedad asociativa.

– La única propiedad fundamental de la resta es que si sumamos o restamos el mismo número al minuendo o al substraendo vamos a obtener una diferencia equivalente; ejemplos:

Tenemos que 7 – 3 = 4

Después sumamos el número 10 al minuendo y al substraendo 7 + 10 = 17 y 3 + 10 = 13.
Ahora volvemos a restar con los nuevos valores: 17 – 13 = 4; por lo tanto obtenemos el mismo resultado:

7 – 3 = 4
17 – 13 = 4

MULTIPLICACIÓN 

La multiplicación es un procedimiento que consiste en doblar o repetir varias veces la cantidad o número de una cosa. El significado de su palabra lo dice todo, la cual es originada del latín “multus” que corresponde a mucho, y “plico”, que es doblar. La multiplicación es básicamente una suma repetida; la expresión 5 × 2 representa que 5 se ha de sumar consigo mismo 2 veces, al igual que 2 se ha de sumar consigo mismo 5 veces, el resultado será lo mismo, para ambas situaciones.

LEYES DE LA MULTIPLICACIÓN

Son seis: Ley de la uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa, ley de monotonía y ley distributiva.

LEY DE UNIFORMIDAD

“El producto de dos números tiene un valor único o siempre es igual”

Ejemplo:

a).- 25 pesos x 4 pesos = 100 pesos

b).- 25 libros x 4 libros = 100 libros

c).- 25 perros x 4 perros = 100 perros

Es decir, Al multiplicar 25 x 4, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos, siempre será igual a 100.

LEY CONMUTATIVA

“El orden de los factores no altera el producto”

Esta ley indica que al multiplicar los factores, no importa el orden en el que se multipliquen, el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo.

32 x 21 = 672

21 x 32 = 672

Es decir, la multiplicación 32 x 21 ó 21x 32 cualquiera que sea el orden de los factores, siempre será igual a 672.

LEY ASOCIATIVA

“El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto”

En esta propiedad se hace uso de los paréntesis para indicar cuáles son los factores que se asocian. Primero deben efectuarse los productos encerrados dentro de ellos y luago las otras operaciones indicadas.

Ejemplo.

5 x 8 x 10 x 2 = 800

(5 x 8) x 10 x 2 = 40 x 10 x 2 = 800

(5 x 8) x (10 x 2) = 40 x 20 = 800

LEY DISOCIATIVA

“El producto de varios números no varía descomponiendo uno o más factores en dos o más factores”

Ejemplo.

8 x 5 x 10 x 2 = 800

4 x 2 x 5 x 10 x 2 = 800, ya que 4 x 2 = 8

4 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 = 800, ya que 4 x 2 = 8 y 5 x 2 = 10. El resultado no se altera.

LEY DISTRIBUTIVA

1.- PRODUCTO DE UNA SUMA POR UN NÚMERO.

“Para multiplicar una suma indicada por un número, se multiplica cada sumando por ese número y se suman los productos”

Ejemplo.

(8 + 5)10 = 130

8 x 10 + 5 x 10 = 80 + 50 = 130

2.- PRODUCTO DE UNA RESTA POR UN NÚMERO.

“Para multiplicar una resta indicada por un número, se multiplican el minuendo y el substraendo por este número y se restan los productos parciales”

Ejemplo.

(8 – 5)10 = 30

8 x 10 – 5 x 10 = 80 – 50 = 30

3.- PRODUCTO DE UNA SUMA ALGEBRAICA.

“Para multiplicar una suma algebraica por un número, se multiplican cada término de la suma por dicho número poniendo delante da cada producto el signo + si el término que se multiplica es positivo y el signo – si el término que se multiplica es negativo”

Ejemplo.

(8 – 5 + 7 – 6)10 = 30

8 x 10 – 5 x 10 + 7 x 10 – 6 x 10 = 30 + 10 = 40

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas”

Esta ley indica que al multiplicar desigualdades (mayor que o menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades.

Ejemplo.

8 < 10

5 = 5

8 x 5 < 10 x 5

40 < 50

Segunda parte. “Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas”

Esta ley indica que al multiplicar desigualdades iguales, resulta otra desigualdad igual.

Ejemplo.

8 > 6

15 > 10

8 x 15 > 6 x 10

120 > 60

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

La multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la resolución de problemas. Estas son las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva.

Propiedad conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos. Por ejemplo: 4 *2 = 2 *4

Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin importar como se agrupan los factores. Por ejemplo (2*3) *4 = 2 * (3 * 4)

Propiedad de elemento neutro: El producto de cualquier número por uno es el mismo número. Por ejemplo 5 * 1 = 5.

Propiedad distributiva: La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3


MÉTODOS DE LA MULTIPLICACIÓN

Método Clasico

Ej 234 x 45

EL método clasico se multiplica el numero de la izquierda (45) por el de la derecha (234) empezando por los digitos de izquierda a derecha.
El primer digito del numero de la derecha (5) por el primer digito del numero de la izquierda (4) = 20 como el resultado es mayor de 9 se coloca el primer digito del resultado y se “lleva 2” este 2 se coloca sobre el segundo digito del numero de la izquierda (3), ahora se multiplica 5 por 3 y al resultado se le suma 2 = 17 se coloca el siete y se lleva 1… Asi obtenemos 1170. luego hacemos la misma operacion con el siguiente digito del numero de la derecha pero “corremos el resultado una posición hacia la derecha”. Asi como se detalla abajo
34 x 45

Resp 10,530Este metodo fue el que me ensañaron el la escuela

Método Hindu

El metodo hindu funciona creando una matriz con los números a multiplicar.
Luego de crear esta matriz, subdividimos los cuadrados con diagonales.
Luego hacemos las multiplicaciones individuales y llenamos la matriz.
”Esto es perfecto porque puedes avanzar como sea mas facil para ti lo que acorta el tiempo”
Listo solo no queda sumar los resultados, lo haremos como indica las diagonales, si la suma es mayor a 9 colocamos “llevamos en la seguiente diagonal”.
“Este metodo acorta el tiempo aproxmadamente a un tercio. y si la multiplicacion es grande pues mucho mas”
Resp 10,530

De ahora en adelante utilizare el metodo Hindu, me parece que es super sencillo y rápido, siempre y cuando estés clarito en las tablas de multiplicar

Método Egipcio

Para el método egipcio no es necesario saberse las tablas de multiplicar… pero eso si debes ser un bravo de boston sumando y restando 
Primero sacamos los multimos de 2 y los colocamos en una columna hasta el ultimo numero menor del numero de la izquierda (128 – 234) ya que 256 se pasa.
Al lado de esta columna colocamos las duplicaciones de 45, o sea 45-90-180-360 etc…
Luego “descomponemos el numero de la izquierda” con los valores de la primera columna. 128+64+32 etc
Aqui es lo interesante tomamos los valores de la columna 2 y los sumamos y listo!
Mas facil se explica en la imagen :-s

234 x 45
Resp 10,350

Método Ruso

Con el método ruso solo necesitamos sumar y restar, igual que con el egipcio dividimos en 2 columnas en la primera iremos dividiendo entre dos (truncando) hasta llegar a uno (1) y en la seguna columna iremos duplicando. Luego sumaremos los valores de la segunda columna donde la primera columna tenga un numero impar.

Por conveniencia para el metodo colocaré el numero mas pequeño en la primera columna 

45	234
22	468		Sumamos
11	936		234
5	1872		936
2	3744		1872
1	7488		7488
			10530

DIVISIÓN

En el ámbito de las matemáticas, la división es una operación de la aritmética donde se descompone una cifra.

La división matemática, por lo tanto, busca el valor denominado cociente, que representa la cantidad de veces que aparece un número (llamado dividendo) en otro (conocido como divisor), a través de un procedimiento estandarizado, el cual puede variar de acuerdo al país, aunque no significativamente.

LEYES DE LA DIVISIÓN

Las leyes de la división son tres:
1. Ley de uniformidad
2. Ley de monotonía
3. Ley distributiva

 1. LEY DE UNIFORMIDAD

Se enuncia de dos formas:
a) El cociente de dos números tiene un valor único o siempre es igual.
Ejemplo:

El cociente 40 ÷ 8  tiene un valor único que es 5

porque 5 es el único número que multiplicado por 8 da 40.

b) Como dos números iguales son el mismo número, se tiene que :

Dividiendo miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad.

Ejemplo:

2. LEY DE MONOTONÍA

Consta de tres partes:

a) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre una igualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

Ejemplos:

En el ejemplo puedes ver que la desigualdad del resultado, tiene el mismo sentido que el dividendo (el dividendo tiene el signo mayor que, el resultado tiene el signo mayor que).

b) Si una igualdad (dividendo) se divide entre una desigualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad divisor.

Ejemplo:

En el ejemplo puedes observar que el divisor 5 > 4 tiene signo mayor que, por lo tanto el resultado tendrá el signo contrario, que es menor que: 4 < 5

c) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre otra desigualdad  de sentido contrario (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

Ejemplo:

3. LEY DISTRIBUTIVA

a) Cociente de una suma entre un número

Para dividir una suma indicada por un número, se divide cada sumando por ese número y se suman los cocientes.

Ejemplos:

15 ÷ 5 + 20 ÷ 5 será el cociente buscado si multiplicado  por el divisor 5 resulta el dividendo (15 + 20)

Por la ley distributiva de la multiplicación tenemos:

el cinco como factor y divisor se suprime.

b)Cociente de una resta entre una división

Para dividir una resta indicada entre un número, se divide el minuendo y el sustraendo por este número y se restan los cocientes parciales.

Ejemplo:

c) Cociente de una suma algebraica entre un número.

Se divide cada término por dicho número poniendo delante el signo + si el número es positivo, o el signo – si es negativo.

Ejemplo:

d) Cociente de un producto entre un número

Se divide uno solo de los factores del producto por dicho número.

Ejemplo:

e) Cociente de un producto entre uno de sus factores

Basta suprimir ese factor en el producto.

Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA DIVICION 

http://conceptodefinicion.de/multiplicacion/
https://definicion.de/suma/
https://definicion.de/resta/
http://www.monografias.com/trabajos27/leyes-matematica/leyes-matematica.shtml
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/resta-o-sustraccion/
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/leyes-de-la-multiplicacion/
http://www.aaamatematicas.com/pro74ax2.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/naturales1/restapro.htm
http://www.aaamatematicas.com/pro74bx2.htm

https://elpillo80.wordpress.com/2010/07/15/metodos-de-multiplicacion-clasico-chino-y-egipcio/
https://definicion.de/division/
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/division/